Покерная математика в техасском холдеме

Покерная математика в техасском холдеме сводится к одному вопросу: какое решение в среднем принесёт больше фишек. Для ответа нужны несколько инструментов: вероятность собрать руку, шансы банка, эквити, ожидаемое значение (EV) и подсчёт комбинаций рук соперника. Всё это школьная арифметика и немного комбинаторики, сложные формулы за столом не нужны.

Ниже — что означает каждое понятие, как они связаны и как применить их на простых примерах. Все числа посчитаны скриптом, эквити — полным перебором бордов. Подробные разборы отдельных тем вынесены в статьи про шансы, таблицы вероятностей и фолд эквити, ссылки — в соответствующих разделах.

Покер — это математика?

Отчасти. Карты раздаются случайно, и в отдельной раздаче может выиграть кто угодно. Но решения игрока — колл, фолд, ставка, её размер — можно оценить заранее: какое из них в среднем выгоднее. Именно это и делает математика. Она не говорит, что придёт на ривере, она говорит, сколько стоит каждое действие на дистанции.

Дэвид Склански в книге «The Theory of Poker» сформулировал так называемую фундаментальную теорему покера. Её смысл: каждый раз, когда вы играете руку иначе, чем сыграли бы, видя карты соперников, они выигрывают, а когда так же — проигрывают. И наоборот. Карт соперника вы не видите, поэтому задача — по ставкам и раздаче оценить, что у него может быть, и принять решение с наибольшим ожиданием. Так что в покере математика неотделима от чтения соперника: формулы дают цену решения, а входные данные (диапазон рук, вероятность фолда) приходится оценивать.

Вероятность и комбинаторика: откуда берутся проценты

Теория вероятности в покере держится на одной формуле — числе сочетаний C(n, k), то есть сколькими способами можно выбрать k карт из n без учёта порядка. Пять карт из колоды в 52 карты выбираются C(52, 5) = 2 598 960 способами. Вероятность комбинации — число подходящих наборов, делённое на это число.

Пример — флеш из пяти карт. Пять номиналов одной масти выбираются C(13, 5) = 1 287 способами, мастей четыре: 1 287 × 4 = 5 148. Из них 40 — стрит-флеши (10 вариантов стрита в каждой масти), их вычитают: 5 148 − 40 = 5 108. Вероятность 5 108 / 2 598 960 = 0,1965%, примерно 1 к 509. Точно так же считается одна пара: 13 × C(4, 2) × C(12, 3) × 4³ = 1 098 240, или 42,3% всех рук. Эти числа совпадают с таблицей в Википедии.

Полные таблицы для 5 и 7 карт, стартовых рук и флопа собраны в статье таблица вероятностей в покере. Наизусть их знать не обязательно: за столом важнее уметь посчитать ауты и комбинации рук соперника.

Комбинации рук соперника и блокеры

Всего в холдеме 1 326 стартовых рук. Каждая карманная пара — это 6 комбинаций (C(4, 2)), каждая непарная рука — 16: 4 одномастные и 12 разномастных. Это главный счётный навык: когда вы думаете «у него AK или сет», важно не только что возможно, но и сколько способов у каждой руки.

Карты на столе и у вас в руке убирают часть комбинаций — такие карты называют блокерами. Возьмём борд K♠7♦2♣, у вас A♥Q♥:

Сетов на этом флопе всего 9 комбинаций, а AK — тоже 9, хотя без учёта карт AK встречался бы в 16 вариантах против 6 у каждой пары. Интуиция «сет — редкость» тут подводит: сеты и топ-пара с лучшим кикером у соперника примерно равновероятны, если он играет обе руки одинаково.

Ауты, шансы банка и эквити

Ауты — карты, которые сделают вашу руку выигрывающей. Шанс поймать аут считают делением на неизвестные карты: 47 на флопе, 46 на терне. Флеш-дро (9 аутов) закрывается на следующей карте в 19,1% случаев и к риверу — в 35,0%. Быстрая прикидка — правило 2 и 4: ауты × 2 на одну карту, ауты × 4 на две.

Шансы банка показывают цену колла. Математика банка в покере: нужное эквити = колл / итоговый банк вместе с вашим коллом. Соперник ставит 50 в банк 100 — вы платите 50, чтобы разыграть 200, нужно 25%. Ставка в банк требует 33,3%.

Эквити — доля банка, которая в среднем достаётся руке, если все карты откроются. Это не то же самое, что шанс собрать флеш: иногда выручает пара или стрит, иногда собранный флеш проигрывает фулл-хаусу. Эквити против конкретной руки считается перебором всех оставшихся карт борда, против неизвестной — оценивается по диапазону. Как считать ауты, где подводит правило 2 и 4 и как учитывать подразумеваемые шансы — в статье как считать шансы в покере.

EV: формула выигрыша в покере

Ожидаемое значение (expected value, EV) — средний результат решения, если повторять его много раз. По определению это сумма исходов, умноженных на их вероятности: EV = x₁p₁ + x₂p₂ + … Каждое решение за столом можно оценить так, и лучшее из них — то, у которого EV больше. Это и есть «формула выигрыша»: не выиграть каждую раздачу, а выбирать действия с большим ожиданием.

Простой пример. Вы на большом блайнде с A♠K♥, игрок с малого блайнда ставит олл-ин 100 BB и показывает Q♦Q♣ (допустим, вы видите карты). Если сбросить, вы теряете уже вложенный 1 BB. Если заплатить 99 BB, банк составит 200 BB. Перебор всех 1 712 304 бордов даёт AK против QQ эквити 42,8%. EV колла по сравнению с фолдом: 0,428 × 200 − 99 = −13,3 BB. Для безубыточного колла нужно 99 / 200 = 49,5%, а у AK меньше. Колл в среднем теряет 13 больших блайндов, хотя в 43 раздачах из 100 вы выиграете банк.

В реальной игре карт соперника не видно, и EV считают против диапазона: та же формула, только эквити — среднее против всех рук, с которыми соперник так сыграл бы. Если среди олл-инов этого игрока часто встречаются более слабые руки, тот же колл может стать прибыльным.

Частота блефа и защиты

Той же арифметикой проверяют блеф. Если вы ставите B в банк P без шансов выиграть на вскрытии, ставка окупается, когда соперник сбрасывает чаще, чем B / (P + B). Ставка в банк должна проходить в 50% случаев, в полбанка — в 33,3%. Если у блефующей руки есть ауты на следующую улицу, это полублеф, и требование ниже — это и есть фолд эквити, подробно разобранное в статье фолд эквити в покере.

С другой стороны стола — обратная задача. По Склански, оптимальный блеф делается с такой частотой, чтобы шансы против блефа совпадали с шансами банка соперника: тогда тому безразлично, платить или сбрасывать. Для ставки в банк соперник получает шансы 2 к 1, значит, блефы должны составлять треть ставок. Если блефов меньше, колл ловцом блефов (рукой, которая бьёт только блеф) теряет, если больше — приносит прибыль.

Посчитаем на борде из предыдущего раздела. Допустим, терн и ривер пришли пустые и силу рук не поменяли, у вас A♥Q♥ без пары, соперник ставит 100 в банк 100. Допустим, на вэлью он так ставит с AK и сетами — это 9 + 9 = 18 комбинаций. Ваш колл выигрывает только у блефов:

EV колла = доля блефов × 200 − доля вэлью × 100. Граница — 9 блефов на 18 вэлью-комбинаций, ровно треть. Решение на ривере зависит от того, сколько блефов вы ждёте от конкретного игрока. Их число тоже прикидывают комбинациями: сколько у него промахнувшихся дро и слабых рук, с которыми он мог бы так поставить.

Зеркальное число — частота защиты: P / (P + B). Против ставки в банк нужно продолжать хотя бы с половиной диапазона, против ставки в полбанка — с двумя третями, иначе любые две карты соперника автоматически прибыльно блефуют. Это ориентир против незнакомого игрока, а не правило: против того, кто почти не блефует, можно сбрасывать чаще.

Дисперсия: почему результат не равен качеству игры

Даже правильные решения дают большой разброс результатов. Винрейт игрока измеряют в больших блайндах на 100 раздач (BB/100), а разброс — стандартным отклонением в тех же единицах. Возьмём условные цифры для безлимитного холдема: винрейт +5 BB/100 и стандартное отклонение 90 BB/100. При независимых раздачах ожидание растёт пропорционально числу раздач, а отклонение — пропорционально корню из него:

Игрок с плюсовым винрейтом после 10 000 раздач будет в минусе почти в трёх случаях из десяти. И наоборот: по 10 000 раздачам свой винрейт можно оценить только как 5 ± 17,6 BB/100, то есть по результату нельзя отличить сильного игрока от слабого. Поэтому решения разбирают по EV, а не по тому, выиграли вы раздачу или нет. Отдельно из винрейта вычитается рейк — комиссия рума с банков: при небольшом преимуществе он легко превращает плюс в минус, и на длинной дистанции это заметная статья расходов.

Как использовать математику в покере на практике

За столом нет времени считать до десятых, поэтому порядок такой:

1. Перед коллом прикиньте нужное эквити по размеру ставки (полбанка — 25%, банк — 33%) и сравните с аутами по правилу 2 и 4.
2. Оценивая руку соперника, думайте комбинациями: сколько у него сетов, сколько топ-пар, сколько промахнувшихся дро. Учитывайте свои блокеры.
3. Перед блефом спросите себя, сбросит ли этот соперник чаще, чем требует ставка: 33% для полбанка, 50% для ставки в банк.
4. После игры разбирайте спорные раздачи калькулятором эквити и считайте EV вариантов. Именно здесь математика окупается сильнее всего.
5. Не оценивайте свою игру по сессии или неделе: тысяча раздач почти ничего не говорит о винрейте.

Частые ошибки

• Путают шанс выиграть раздачу с выгодой решения. AK против QQ выигрывает 43 раздачи из 100, но колл олл-ина 100 BB теряет в среднем 13 BB.
• Считают руки соперника, а не комбинации. «Сет или AK» на борде K-7-2 — это 9 против 9, а не «скорее AK, потому что сет редкий».
• Ждут, что карта «должна прийти». Раздачи независимы, серия промахов не повышает шанс в следующей.
• Делают выводы по короткой дистанции. После 10 000 раздач игрок с винрейтом +5 BB/100 в минусе в 29% случаев.

Математика в покере помогает принимать решения, но не гарантирует прибыли: большинство игроков на дистанции проигрывают, в том числе из-за рейка. Если покер перестаёт быть игрой и превращается в попытку отыграться, полезно прочитать раздел об ответственной игре.

Что важно запомнить

• Основа покерной математики — сочетания C(n, k): из них получаются вероятности комбинаций (флеш — 5 108 из 2 598 960) и число комбинаций рук (пара — 6, непарная рука — 16).
• Нужное эквити для колла = колл / итоговый банк; ставка в полбанка требует 25%, в банк — 33,3%.
• EV = сумма исходов, умноженных на вероятности. Правильное решение — с наибольшим EV, а не то, что выиграло в этой раздаче.
• Блеф ставкой B в банк P окупается при фолдах чаще B / (P + B); оптимальная доля блефов в ставке равна шансам банка соперника.
• Дисперсия огромна: на десятках тысяч раздач результат плохо отражает уровень игры.