Вероятность флеш-рояля в покере: 5 карт и холдем

Вероятность флеш-рояля в покере зависит от того, из скольких карт собирается комбинация. Если сдать пять карт из колоды в 52, шанс равен 4 из 2 598 960, то есть 1 к 649 740 (0,00015%). В техасском холдеме, где лучшая пятёрка выбирается из семи карт (две своих и пять общих), шанс собрать роял-флеш к риверу — около 1 к 30 940 (0,0032%), если доигрывать каждую раздачу до конца.

Ниже — откуда берутся эти числа, как меняется шанс с разными стартовыми руками и на разных улицах и сколько раздач нужно, чтобы увидеть рояль хотя бы раз. Все расчёты мы сделали скриптом, табличные значения совпали с данными Википедии.

Что такое флеш-рояль

Флеш-рояль (роял-флеш, royal flush) — туз, король, дама, валет и десятка одной масти, например A♠ K♠ Q♠ J♠ 10♠. Формально это частный случай стрит-флеша: стрит-флеш от туза. В таблицах комбинаций его обычно выносят отдельной строкой, потому что это самая старшая рука в покере без джокеров. Рояли разных мастей равны между собой: масть в покере на старшинство не влияет.

Вариантов рояля всего четыре, по одному на масть. Поэтому вся задача о его вероятности сводится к вопросу, как часто среди ваших карт окажутся все пять нужных карт одной масти.

Вероятность флеш-рояля в пяти картах: 1 к 649 740

Это классический случай: пятикарточный покер без обмена, видеопокер до замены карт или просто «первые пять карт из колоды». Число всех возможных пятёрок из 52 карт — это число сочетаний C(52, 5) = 2 598 960. Подходящих пятёрок четыре. Отсюда:

P = 4 / 2 598 960 = 1 / 649 740 ≈ 0,000154%

Шансы против — 649 739 к 1. Обе записи означают одно и то же: «1 к 649 740» — это доля удачных исходов среди всех, а «649 739 к 1» — соотношение неудачных к удачным.

Для сравнения — частоты остальных старших комбинаций в тех же пяти картах:

Рояль встречается в девять раз реже любого другого стрит-флеша просто потому, что стрит-флешей других высот девять на каждую масть, а рояль — один.

Шанс флеш-рояля в холдеме

В холдеме у игрока к риверу семь карт, и рояль засчитывается, если пять нужных карт есть среди этих семи. Считаем так: выбираем масть (4 варианта), пять карт рояля этой масти обязательно входят в семёрку, а оставшиеся две — любые из других 47 карт, то есть C(47, 2) = 1 081 вариант. Всего семёрок C(52, 7) = 133 784 560.

P = 4 × 1 081 / 133 784 560 = 4 324 / 133 784 560 ≈ 1 / 30 940 ≈ 0,0032%

Шансы против — 30 939 к 1, ровно как в таблице 7-карточных комбинаций в Википедии. В семи картах рояль встречается примерно в 21 раз чаще, чем в пяти, потому что у семи карт гораздо больше способов «вместить» нужную пятёрку.

Важная оговорка: 1 к 30 940 — это шанс для руки, которая дошла до ривера. В реальной игре вы сбрасываете большую часть раздач до флопа, поэтому увидеть рояль у себя на практике получится реже, чем раз в 30 940 сданных рук.

По улицам: префлоп, флоп, терн, ривер

На флопе у игрока ровно пять карт (две свои и три общие), поэтому шанс собрать рояль сразу на флопе для случайной руки тот же, что в пятикарточном покере: 1 к 649 740. К терну карт шесть, и шанс вырастает до 1 к 108 290 (188 подходящих шестёрок из 20 358 520). К риверу, как уже посчитано, 1 к 30 940.

Шанс собрать роял-флеш с разными стартовыми картами

Средняя цифра 1 к 30 940 скрывает огромный разброс между руками. С двумя картами, которые сами входят в рояль одной масти, шанс в десятки раз выше, а без единой карты от десятки до туза рояль может прийти только целиком на борде.

Разберём первую строку по шагам. У вас A♥K♥, неизвестных карт 50, на борд выйдут пять из них: всего C(50, 5) = 2 118 760 бордов. Рояль червей соберётся, если на борде будут Q♥, J♥ и 10♥, а две оставшиеся карты — любые из других 47: C(47, 2) = 1 081 борд. Ещё три борда — рояль другой масти целиком на столе. Итого 1 084 из 2 118 760, или 1 к 1 955. Если взвесить все 1 326 стартовых рук по этим четырём группам, получается та же средняя цифра 1 к 30 940 — это проверка расчёта.

Сразу на флопе с A♥K♥ рояль собирается только одним флопом — Q♥ J♥ 10♥ — из C(50, 3) = 19 600 возможных, то есть 1 к 19 600.

Если на флопе уже четыре карты к роялю

Допустим, у вас A♥K♥, а на флопе Q♥ J♥ 5♣. До рояля не хватает одной карты — 10♥. Неизвестных карт 47, нужная одна, поэтому:

• к терну: 1 / 47 ≈ 2,13%;
• к риверу (терн или ривер): 2 / 47 ≈ 4,26%, примерно 1 к 23,5;
• если терн не помог, на ривере: 1 / 46 ≈ 2,17%.

Чистые шансы на рояль здесь малы, но в такой раздаче вас интересует не только он: любая черва даёт флеш от туза, а любая десятка — стрит. Как такое дро превращают в полублеф, мы разбирали в статье про фолд эквити. Если же к роялю на флопе только три карты (например, A♥K♥ и Q♥ на столе), нужны обе оставшиеся на терне и ривере: 1 к 1 081.

Как часто кто-то за столом собирает рояль

Если за столом несколько игроков и все доходят до ривера, шанс, что рояль будет хотя бы у одного, растёт почти пропорционально числу игроков. Почти — потому что рояль целиком на борде (1 к 649 740) достаётся сразу всем и не должен считаться дважды. Точный подсчёт по мастям даёт формулу 4 × (1 + 20k) / 2 598 960, где k — число игроков:

Мы проверили таблицу симуляцией трёх миллионов раздач: результаты совпали в пределах случайной погрешности. Это верхняя оценка: в настоящей игре до ривера почти никогда не доходят все девять человек, поэтому за реальным столом рояль появляется реже.

Сколько раздач нужно, чтобы собрать флеш-рояль

«Раз в 30 940 раздач» — это среднее, а не расписание. Каждая раздача независима: если вы собрали рояль вчера, сегодня шанс тот же. Полезнее спросить, за сколько раздач вероятность увидеть рояль хотя бы раз достигает заданного уровня. Для холдема (рука каждый раз доходит до ривера) это считается как 1 − (1 − p) в степени n, где n — число раздач:

Даже за «положенные» 30 940 раздач рояль будет только в 63% случаев. Если играть по 30 раздач в час за живым столом, 30 940 раздач — это около тысячи часов игры. Для пятикарточного покера цифры ещё суровее: чтобы шанс дошёл до 50%, нужно около 450 тысяч раздач.

Рояль в шорт-деке и видеопокере

В шорт-деке колода короче — 36 карт без двоек–пятёрок, а карт рояля в ней по-прежнему пять на масть. Поэтому рояль встречается намного чаще: 1 к 94 248 в пяти картах и около 1 к 4 488 в семи.

В видеопокере игрок меняет карты после первой сдачи, и шанс зависит от стратегии обмена. В таблице для игры Jacks or Better в Википедии рояль выпадает в 41 126 022 исходах из 1 661 102 543 100 — примерно 1 к 40 391. Там же отмечено, что до рояля можно сыграть десятки тысяч раздач, а выплата за него — самая высокая в таблице. Эта выплата не добавляется к выигрышу сверху: она уже учтена в общем RTP автомата вместе со всеми остальными комбинациями.

Частые заблуждения о флеш-рояле

• «Давно не было рояля — значит, скоро будет». Карты не помнят прошлых раздач. Шанс в следующей раздаче всегда 1 к 30 940 (для холдема до ривера), сколько бы раздач ни прошло.
• «С одномастными картами стоит играть ради рояля». Даже с A♥K♥ рояль собирается раз в 1 955 раздач. Одномастные карты ценны из-за флешей и стритов, а не из-за рояля.
• «Рояль на борде — победа». Если все пять карт рояля легли на стол, у всех оставшихся игроков одна и та же рука, и банк делится.
• «1 к 649 740 — это и есть шанс в холдеме». Нет, это число для пяти карт. В холдеме рука собирается из семи, и шанс к риверу около 1 к 30 940.

Если редкая комбинация становится поводом «ещё немного поиграть, вдруг придёт», полезно заранее ограничить время и бюджет. Об этом — на странице об ответственной игре.

Что важно запомнить

• В пяти картах вероятность флеш-рояля — 4 из 2 598 960, то есть 1 к 649 740.
• В холдеме к риверу — 4 324 из 133 784 560, примерно 1 к 30 940, но только если рука доигрывается до конца.
• С двумя одномастными картами от десятки до туза шанс к риверу — около 1 к 1 955, с флеш-дро в четыре карты к роялю на флопе — 4,26%.
• Раздачи независимы: «пора» рояля не бывает, и даже за 30 940 раздач он выпадет лишь с вероятностью 63%.