ICM в покере: что это и как он меняет решения в турнире

ICM в покере (Independent Chip Model, по-русски пишут «ицм» или «айсиэм») — математическая модель, которая переводит турнирный стек в его денежную стоимость. Она отвечает на вопрос, сколько в среднем стоят ваши фишки с учётом призовой сетки. Главный вывод модели: в турнире фишки не равны деньгам. Удвоение стека не удваивает ожидаемый приз, а потерянные фишки стоят дороже выигранных. Поэтому у баббла и за финальным столом правильные решения отличаются от тех, что были бы верны в кэше.

Ниже — как считается ICM (с разобранным примером на трёх игроков), почему колл олл-ина на баббле требует гораздо больше эквити, чем кажется по фишкам, где модель используют и где она ошибается. Все числа посчитаны скриптом.

Что такое ICM простыми словами

В кэш-игре фишка равна деньгам: выиграли 100 — стало на 100 больше. В турнире не так. Пока вы в игре, ваши фишки нельзя обменять на деньги, а приз зависит от того, каким вы вылетите. Если у вас половина фишек за финальным столом, это не значит, что вам «положена» половина призового фонда: первое место приносит его только части, а остальные места тоже платят.

В глоссарии покерных терминов Википедии ICM определён как присвоение денежной стоимости стеку фишек в турнирах и сит-н-гоу. Модель называют ещё методом Malmuth–Harville. Её впервые описал Дэвид Харвилл в статье 1973 года о скачках: как по шансам лошадей на победу оценить вероятность любого порядка финиша. В 1987 году Мейсон Малмут независимо пришёл к тому же для покера.

Модель держится на одном допущении: все игроки играют одинаково хорошо. Тогда шанс занять каждое место зависит только от размера стека.

Как считается ICM

Правила расчёта такие:

1. Шанс занять первое место равен вашей доле фишек.
2. Шанс занять второе место считается для каждого варианта, кто стал первым. Если первым стал игрок X, ваш шанс на второе место — ваш стек, делённый на сумму стеков всех, кроме X. Затем варианты складываются с весами.
3. Так же считаются третье и следующие места.
4. ICM-стоимость стека — сумма призов за каждое место, умноженных на вероятность его занять.

Пример: три игрока за финальным столом

Осталось трое, стеки 5 000, 3 000 и 2 000 фишек. Призы: 500 за первое место, 300 за второе, 200 за третье (весь оставшийся фонд — 1 000).

Посчитаем для лидера A с 5 000 фишек:

• Первое место: 5 000 / 10 000 = 50%.
• Второе место. Если первым стал B (вероятность 30%), то A занимает второе с шансом 5 000 / 7 000. Если первым стал C (20%), то с шансом 5 000 / 8 000. Итого 0,3 × 0,714 + 0,2 × 0,625 = 21,43% + 12,50% = 33,93%.
• Третье место: остаток, 100% − 50% − 33,93% = 16,07%.
• ICM-стоимость: 0,5 × 500 + 0,3393 × 300 + 0,1607 × 200 = 383,93.

Для всех трёх игроков:

У лидера половина фишек, но по ICM его стек стоит 38,4% фонда, а у самого короткого стека с 20% фишек — 28,9%. Объяснение простое: 200 из 1 000 уже гарантированы каждому, ведь хуже третьего места никто не займёт. Реально «разыгрываются» только 400 сверху, и лидеру больше 500 не получить, сколько бы фишек у него ни было.

Для сравнения пример из статьи Википедии: стеки 50%, 30% и 20% фишек, призы 70 и 30. Лидер по ICM получает около 45 — примерно 90% от того, что дал бы пересчёт по фишкам. Наш скрипт даёт для этого случая 45,18.

Почему проигранные фишки дороже выигранных

Возьмём того же лидера A. Если он выиграет у C 1 000 фишек (станет 6 000 / 3 000 / 1 000), его ICM вырастет с 383,93 до 412,38, то есть на 28,45. Если проиграет C те же 1 000 (4 000 / 3 000 / 3 000), упадёт до 354,29, то есть на 29,64. Фишек столько же, а денег теряется больше, чем приобретается.

Здесь разница небольшая. Она резко растёт, когда проигрыш означает вылет без приза, а соперники с маленькими стеками вот-вот вылетят сами. Это ситуация баббла — последнего места перед призовыми.

Пример: колл олл-ина на баббле

Сит-н-гоу, осталось четверо, платят три места: 500, 300 и 200. Блайнды 100/200. Стеки перед раздачей:

• малый блайнд (SB) — 4 500, лидер;
• большой блайнд (BB), то есть вы, — 2 500;
• два других игрока — 2 000 и 1 000, они сбросили карты.

SB идёт олл-ин. Вам нужно доплатить 2 300, чтобы разыграть банк 5 000. В фишках, как в кэше, безубыточное эквити — 2 300 / 5 000 = 46%. Теперь посчитаем по ICM:

Колл рискует 260,38, чтобы выиграть 371,83 − 260,38 = 111,45. Безубыточное эквити по ICM: 260,38 / 371,83 = 70,0% вместо 46% в фишках.

В глоссарии Википедии есть термин для этого эффекта — bubble factor, коэффициент, на который шансы в фишках отличаются от шансов в деньгах. В нашем примере в фишках вы рискуете 2 300, чтобы выиграть 2 700 (отношение 0,85), а в деньгах — 260,38 против 111,45 (отношение 2,34). Коэффициент — 2,74.

Что это значит для конкретных рук. Допустим, SB пушит примерно 29% рук: любые пары, любой туз, K9+, QT+, JT (382 комбинации из 1 326). Эквити против такого диапазона (Монте-Карло, 40 000 раздач на руку, погрешность около 0,25 п. п.):

По фишкам здесь выгодно платить со всеми руками из таблицы. По ICM — практически только с AA и KK. Сброс JJ или AK выглядит слабо, но в этой ситуации колл стоит денег: даже выиграв, вы прибавите меньше, чем потеряете при проигрыше.

Заодно видно, кто выигрывает от такого колла. Игрок с 1 000 фишек сидит и ждёт: при фолде его стек стоит 138,01, а если вы вылетите, — 255,83, почти вдвое больше. Сам он не рискует ничем.

Сателлит: ещё жёстче

Сателлит — турнир, где призом служит билет в другой, более крупный турнир. Если в нашем примере вместо 500/300/200 три одинаковых билета, нужное для колла эквити по ICM вырастает до 85,1%. AA против любых двух карт имеет 84,9% — то есть даже с тузами колл получается чуть в минус. Смысл понятен: при фолде вы почти наверняка получите билет, а больше одного билета не выиграть.

Где используют ICM

• Пуш-фолд в конце турнира. Когда стеки короткие и игра сводится к «олл-ин или фолд», ICM показывает, с какими руками пушить и с какими платить пуш. Игроки часто называют «ICM» и сами программы, которые применяют модель к таким решениям.
• Сделки за финальным столом. Если оставшиеся игроки договариваются поделить фонд, ICM даёт ориентир, сколько кому положено. Для стола из примера выше раздел пропорционально фишкам дал бы лидеру 500, а по ICM — 383,93. Короткий стек при разделе по фишкам получил бы 200, хотя его стек стоит 288,57: соглашаться на такое ему невыгодно.
• Разбор раздач после игры. Как и EV в покере, ICM позволяет оценить решение, а не результат. Только в турнире EV считают в деньгах по ICM, а не в фишках.

Ограничения модели

У ICM есть известные слабые места. Википедия перечисляет основные:

• Одинаковый уровень игроков. Сильный игрок с коротким стеком стоит больше, чем говорит модель, слабый с длинным — меньше.
• Только стеки. Модель не видит блайндов, позиции и того, что короткий стек на большом блайнде скоро будет вынужден вложить фишки. Она оценивает ситуацию «на сейчас», без будущих раздач.
• Сложность расчёта. Порядков финиша n! — для 3 игроков 6, для 6 игроков 720, для 9 уже 362 880. В большом турнире с тысячами участников прямой расчёт невозможен, да и стеки всех игроков известны не всегда.
• Неточность для маловероятных исходов. Вероятности конкретных мест при трёх и более игроках модель оценивает плохо, хотя средние выплаты у неё получаются достаточно точными.

Поэтому программы-симуляторы, как отмечает Википедия, редко используют модель Malmuth–Harville в чистом виде и вносят в неё поправки. Отдельно стоят турниры с баунти: награда за выбивание соперника в ICM не входит, и её считают отдельно. Как оценить стоимость нокаута, разобрано в статье про баунти-турниры.

Частые ошибки

• Считать турнирные фишки деньгами. 46% эквити хватает для колла в кэше, но на баббле из примера нужно 70%.
• Забывать, что давление работает в обе стороны. Если соперникам больно платить, лидер может чаще пушить против средних стеков. Расчёт ICM для их колла показывает, с чем они смогут ответить.
• Считать, что ICM-фолд — это слабость. Сброс JJ на баббле обидно смотрится, когда соперник показывает A2. Но решение оценивают по ожиданию, а не по одной раздаче: разброс результатов вокруг ожидания разобран в статье о дисперсии в покере.

Правильная игра по ICM не меняет того, что турниры — игра с большим разбросом и взносом организатору, и на дистанции большинство участников в минусе. Если игра стала способом отыграться, загляните в раздел об ответственной игре.

Что важно запомнить

• ICM переводит стек в долю призового фонда: шанс на первое место равен доле фишек, остальные места считаются по цепочке.
• В турнире удвоение стека не удваивает ожидаемый приз: лидер с 50% фишек в примере получил 38,4% фонда.
• Проигранные фишки стоят дороже выигранных, особенно на баббле: там колл олл-ина потребовал 70% эквити вместо 46%, а в сателлите — 85%.
• ICM используют для пуш-фолда, сделок за финальным столом и разбора раздач.
• Модель не учитывает навык, позицию и блайнды, поэтому её результаты — ориентир, а не точный ответ.